另一方面，具有零谱的粒子是可能观测到的，它们取决于卡拉比―丘空间的拓扑。由此可见，这细小的六维空间，其拓扑在物理中是如何举足轻重。爱因斯坦过去指出，重力不过是时空几何的反映。弦学家更进一步，大胆地说这个宇宙的规律，都可以由卡拉比―丘空间的几何推演出来。这个六维空间究竟具有怎样的形状，显然就很重要了。弦学家正就此问题废寝忘食，竭尽心力地研究。
威滕很想多知道一点卡拉比―丘空间。他从普林斯顿飞来圣迭戈，与我讨论如何构造这些空间。他还希望知道究竟有多少个卡拉比―丘空间可供物理学家拣选。原先，他们认为只有几个即少数拓扑类可作考虑，是以决定宇宙“内空间”的任务不难完成。可是，我们不久便发现，卡拉比―丘空间比原来估计的来得多。1980 年初，我想它只有数万个，然而，其后这数目不断增加，迄今未止。
于是，决定内空间的任务一下子变得无比困难，假如稍后发现有无数卡拉比―丘空间的话，就更遥不可及了。当然，后者是真是假还有待验证，我一直相信，任何维的卡拉比―丘空间都是有限的。
卡拉比―丘空间的热潮，始于1984年，当时的物理学家，开始了解到这些复空间或会用于新兴的理论上。热情持续了几年，便开始减退了。可是到了上世纪八十年代末期，布赖・恩格林（Brian Greene）、罗恩・布雷斯（Ronen Plesser）、 菲利普・凯德拉（Philip Candelas）等人开始研究“镜象对称”时，卡拉比―丘空间又重新成为人们的焦点了。
镜对称乃是两个具有不同拓扑的卡拉比―丘空间，看起来没有什么共通点，但却拥有相同的物理定律。具有这样关系的两个卡拉比―丘空间称为“镜象对”。
数学家把物理学家发现的镜象关系搬过来，成为数学上强而有力的工具。在某个卡拉比―丘空间上要解决的难题，可以放到它的镜象上去考虑，这种做法往往奏效。一个求解曲线数目的问题，悬空了差不多一个世纪，就是这样破解的。它使数数几何学（enumerative geometry）这一数学分支，重新焕发了青春。这些进展令数学家对物理学家及弦论刮目相看。
镜对称是对偶性的一个重要例子。它就像一面窗，让我们窥见卡拉比―丘空间的隐秘。利用它，我们确定了给定阶数的有理曲线在五次面一个卡拉比―丘空间的总数，这是一个非常困难的问题。
这问题称为Schubert问题。它源于十九世纪，德国数学家赫尔曼・舍伯特（Hermann Schubert）首先证明，在五次面上共有2875条一阶有理曲线。到了1986年，谢尔顿・卡茨（Sheldon Katz）证明了有609250条二阶曲线。1989年前后，两位挪威数学家盖尔・尔林斯瑞德（Geir Ellingsrud）和斯坦・斯达姆（Stein Stromme）利用代数几何的技巧，一下子找到了2638549425条三阶曲线。
可是另一方面，以凯德拉为首的一组物理学家，却利用弦论找到317206375条曲线。他们在寻找的过程中，用了一条并非由数学推导出来的适用于任意阶数曲线的公式。这公式的真确与否，还有待数学家验证。
1991年1月，在伊萨多・辛格（Isadore Singer）的敦促下，我组织了弦学家和数学家首次的主要会议。大会在伯克利的数理科学研究所举行。会议上拥埃林斯里德―斯达姆（Ellingsrud ―Stromme）和拥凯德拉团队的人分成两派，壁垒分明，各不相让。这局面维持了几个月，直到数学家在他们的编码程序中发现错误，经修正后，结果竟与物理学家找到的数目完全吻合。经此一役，数学家对弦学家深刻的洞察力，不由得肃然起敬。
这一幕还说明了镜象对称自有其深厚的数学基础。人们花了好几年，到了1990年中后期，镜象对称的严格数学证明，包括凯德拉等人的公式，才由杰文托（Givental）和Lian―Liu―Yau各自独立地完成。
结语
就弦论而言，我们看到几何和物理如何走在一起，催生了美妙的数学、精深的物理。这些数学是如此的美妙，影响了不同的领域，使人们相信它在物理中必有用武之地。
话说回来，我们必须紧记，弦“论”毕竟是一套理论而已，它还未被实验所实证。事实上，有关的实验还没有设计出来。弦论是否真的与原来设想的那样描述自然，还是言之过早。
如果要给弦论打分的话，从好的方面来说，弦论启发了某些极之精妙而有力的数学理论，从中获得的数学式子已经有了严格的证明，弦论的对错与否，都不能改变其真确性。弦论纵使还没有为实验所证实，它始终是现存的唯一能够统一各种自然力的完整理论，而且它非常漂亮。试图统一各种自然力的尝试，竟然导致不同数学领域的融合，这是从来没有想过的。
现在要作总结还不是时候，过去两千年间，几何学屡经更替，最终形成今天的模样。而每次重要的转变，都基于人类对大自然的崭新了解，这应当归功于物理学的最新进展。我们将亲眼看到二十一世纪的重要发展，即量子几何的面世，这门几何把细小的量子物理和大范围的广义相对论结合起来。
抽象的数学为何能够揭露大自然如许讯息，实在不可思议，令人惊叹不已，《内空间的形状》一书的主旨乃在于此。不仅如此，我们还希望透过本书，使读者知道数学家是如何进行研究的。他们未必是奇奇怪怪的人，就像在电影《心灵捕手》（Good Will Hunting）中的清洁工般，一面在打扫地板，另一面却破解了悬空百年的数学难题。杰出的数学家也未必如一部电影和小说描述的那样，是个精神异常、行为古怪的人。
数学家和作实验的学者同样研究自然，但他们采用的观点不同，前者更为抽象。然而，无论数学家或物理学家，他们的工作都以大自然的真和美为依归。数学和物理互动时迸发的火花，重要的想法如何相互渗透，伟大的新学说如何诞生，如此种种，作者都会在书中娓娓道来。
就弦论而言，我们看到几何和物理如何走在一起，催生了美妙的数学、精深的物理。这些数学是如此的美妙，影响了不同的领域，使人们相信它在物理中必有用武之地。可以肯定的是，故事还会继续下去。本人能在其中担当一角色，与有荣焉。今后并将倾尽心血，继续努力。谢谢！来源光明日报）加拿大华人网 http://www.sinoca.com/
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